پایان نامه بررسی عددی معادلات دیفرانسیل غیر خطی، معادله شرودینگر غیر خطی، معادله کورته وگ دی وری

word
154
13 MB
31896
1392
کارشناسی ارشد
قیمت: ۱۵,۴۰۰ تومان
دانلود فایل
  • خلاصه
  • فهرست و منابع
  • خلاصه پایان نامه بررسی عددی معادلات دیفرانسیل غیر خطی، معادله شرودینگر غیر خطی، معادله کورته وگ دی وری

    چکیده مطلب

        معادلات دیفرانسیلی که در مسائل فیزیکی ظاهر می­شوند، اغلب به صورت غیرخطی بوده که حل دقیق آن­ها برای دستیابی به جواب ضروری است. از آنجایی که اکثر معادلات دیفرانسیل غیرخطی، فاقد حل تحلیلی می باشند، روش­های حل عددی این معادلات برای مواردی چون فیزیک پلاسما مفید به نظر می­رسد. بدین منظور در این پایان نامه به بررسی حل عددی برخی از معادلات دیفرانسیل غیرخطی با مشتقات پاره­ای پرداخته شده است. آشنایی با معادلات دیفرانسیل غیرخطی و کاربرد آن­ها در فصل اول و معرفی سالیتون به عنوان یک نمونه جواب برای معادلات دیفرانسیل غیرخطی در فصل دوم پایان نامه آورده شده است. در فصل سوم به بررسی برخی از روش­های عددی برای این دسته از معادلات شامل روش­های تجزیه ادمیان، اختلال هوموتوپی و تکرار تغییرات پرداخته شده است. در ادامه به منظور دستیابی و مقایسه جواب دقیق با حل­های عددی، برای دو معادله غیرخطی نمونه (معادله غیرخطی شرودینگر و معادله کورته وگ دی وری) کد نویسی به کمک نرم افزار برنامه نویسی فرترن انجام شده است و در انتها با تحلیل نمودارها و مقایسه هر دسته از جواب­ها، دقت روش­های بکار برده شده سنجیده شده است. نتایج نشان می­دهند که روش تکرار تغییرات، همگرایی بیشتری داشته و با حل دقیق نیز همخوانی بیشتری دارد.

    کلید واژه­ها: حل عددی، معادله دیفرانسیل، غیر خطی، سالیتون

     

    بدون آنکه چیزی از معادلات دیفرانسیل و روش­های حل آن­ها بدانیم، ارزیابی این شاخه مهم ریاضیات دشوار است. علاوه بر این پیشرفت نظریه معادلات دیفرانسیل با پیشرفت کلی ریاضیات به هم پیوند خورده است و نمی­تواند از آن جدا باشد.

         معادلات دیفرانسیل زیادی که جواب­های آن­ها با روش­های تحلیلی بدست نمی­آیند به بررسی در روش­های تقریب عددی منجر شده­اند. پیش از سال 1900 روش­های انتگرال­گیری عددی نسبتاً مؤثری ابداع شده بودند ولی پیاده کردن آن­ها به علت نیاز به انجام محاسبات با دست یا با وسایل محاسبه خیلی ابتدایی بی­اندازه محدود بود. در پنجاه سال اخیر توسعه روزافزون رایانه­های چند منظوره پر قدرت دامنه مسائلی را که می­توان به نحوی مؤثر با روش­های عددی بررسی کرد بی­اندازه وسعت بخشیده است.

         کار مهم دیگر در زمینه معادلات دیفرانسیل در سده بیستم، ایجاد روش­های هندسی یا توپولوژیکی، بویژه برای معادلات غیر­خطی است. هدف این است که حداقل رفتار کیفی جواب­ها را از دیدگاه هندسی و نیز تحلیلی درک کنیم. اگر اطلاعات تفضیلی بیشتری لازم باشد، معمولاًمی­توان از تقریب عددی استفاده کرد. در چند سال اخیر، این دو روند به هم پیوسته­اند. رایانه­ها، و بویژه نمودارهای رایانه­یی، برای مطالعه دستگاه معادلات دیفرانسیل غیر­خطی نیروی محرکه جدیدی به شمار می­روند. پدیده­های غیر منتظره­ای کشف شده­اند که با اصطلاحاتی نظیر جاذبه­های عجیب، آشوب­ها، و بر خال­ها به آن­ها اشاره می­شود و با جدیت مورد بررسی قرار گرفته­اندکه در برخی از کاربردها به شناخت­های جدید و مهمی منجر شده­اند. هر چند معادلات دیفرانسیل موضوعی قدیمی است، که اطلاعات زیادی از آن در دست است، ولی در طلیعه سده بیست و یکم این موضوع همچنان منبعی پر بار از مسائل حل نشده مهم و جالبی مانده است.

         رایانه می­تواند وسیله ارزشمندی در مطالعه معادلات دیفرانسیل باشد. سال­ها از رایانه­ها برای اجرای الگوریتم­های عددی استفاده می­شد تا تقریب­های عددی برای جواب­های معادلات دیفرانسیل به دست آورند. در حال حاضر این الگوریتم ها تکامل یافته و در تعمیم و کار آیی به سطح بسیار بالایی رسیده­اند. چند سطر از رمز رایانه­یی، که با زبان سطح بالایی در یک رایانه نسبتاً ارزان نوشته و اجرا شده باشد. (اغلب در مدت چند ثانیه) برای حل عددی رشته وسیعی از معادلات دیفرانسیل کافی است. در بیشتر مراکز رایانه­یی روال­های عادی پیشرفته­تر در دسترس­اند. توانایی این روال­ها ترکیبی هستند از توانایی پرداختن به دستگاه خیلی بزرگ و پیچیده و چندین ویژگی مفید برای تشخیص که کاربر را با مسائلی که ممکن است با آن­ها مواجه شود آگاه   می­سازند. خروجی معمولی از یک الگوریتم عددی جدولی از اعداد شامل مقادیر برگزیده متغیر مستقل و مقادیر متناظر متغیرهای وابسته است. با امکانات گرافیک رایانه­یی مناسب، می­توان به سادگی جواب یک معادله دیفرانسیل را به طریق نموداری نمایش داد، خواه جواب به طریق عددی حاصل شده باشد یا خواه نوعی از روش تحلیلی. این گونه نمایش نموداری اغلب برای درک و تعبیر جواب یک معادله دیفرانسیل مفیدتر و روشنگرتر از جدولی از اعداد یا یک فرمول تحلیلی پیچیده است.[1و2]  

    1-1 معادلات دیفرانسیل خطی و غیر­خطی

         معادلات دیفرانسیل در یک دسته بندی کلی به دو دسته خطی و غیرخطی تقسیم می­شوند. در یک تعریف بسیار ساده، معادله­ای خطی است که، مرتبه تمامی کمیات موجود در آن، یک باشد. در صورتی که برای معادله غیر­خطی، مرتبه­های غیر از یک هم، در معادله حضور دارند. صورت کلی این معادلات بصورت زیر می­باشد

    (1-1)

    این معادله را خطی گویند، هرگاه  تابعی از متغیرهای   باشد. از این رو صورت کلی معادله دیفرانسیل معمولی خطی از مرتبه  چنین است

    (1-2)

    نظریه ریاضی معادلات خطی و روش­های حل آن­ها توسعه و گسترش بسیار یافته­اند. برعکس در مورد معادلات غیر­خطی این نظریه پیچیده­تر است و روش­های حل آن­ها کمتر رضایتبخش هستند. از این نظر، خوشبختانه بسیاری از مسائل مهم، در تقریب اول به معادلات دیفرانسیل معمولی خطی تعدیل می­یابند.

    1-2 تفاوت­های بین معادلات خطی و غیر­خطی

    در بررسی مسأله مقدار اولیه                                                                     

         اساسی­ترین سؤال­هایی که باید در نظر گرفته شوند این است که آیا جوابی وجود دارد، آیا این جواب یکتاست، در چه بازه­ای این جواب تعریف شده است و چگونه می­توان فرمول مفیدی برای جواب به دست آورد یا نمودار آن را رسم کرد. اگر معادله دیفرانسیل خطی باشد، یک فرمول عمومی برای جواب وجود دارد. علاوه بر این، برای معادلات خطی جوابی عمومی (شامل یک ثابت دلخواه) وجود دارد که شامل همه جواب­هاست، و نقاط احتمالی ناپیوستگی جواب را می­توان به آسانی با تعیین نقاط ناپیوستگی ضرایب شناسایی کرد. اما، برای معادلات غیر­خطی فرمول متناظری وجود ندارد، بنابراین تعیین ویژگی­های کلی مشابه برای جواب­ها دشوارتر است.

    بازه تعریف

    مسأله خطی

    با شرط اولیه ، در سراسر هر بازه حول  که در آن توابع  و  پیوسته باشند جواب دارد. از سویی دیگر، برای یک مقدار اولیه غیر­خطی ممکن است به دشواری بتوان بازه­ای را که در آن جوابی وجود دارد تعیین کرد.

    جواب عمومی

         معادلات خطی و غیر­خطی از جنبه دیگری نیز تفاوت دارند که مربوط به استنباط ما از جواب عمومی است. برای معادله مرتبه اول می­توان جوابی یافت که شامل یک ثابت دلخواه باشد، و از آن همه جواب­های ممکن با مشخص کردن مقادیر این ثابت به دست می­آیند. درباره معادلات غیر­خطی ممکن است وضع چنین نباشد؛ حتی اگر بتوان جوابی شامل یک ثابت دلخواه پیدا کرد، ممکن است جواب­هایی وجود داشته باشند که نتوان آن­ها را به ازای هیچ مقداری از این ثابت به دست آورد. بنابراین اصطلاح "جواب عمومی" را فقط در بحث معادلات خطی به کار برده می­شود.

    جواب­های ضمنی

         بار دیگر یادآوری می­کنیم که معادله خطی مرتبه اول راه حل دقیق برای جواب  دارد. مادامی که توابع اولیه لازم را بتوان به دست آورد، در هر نقطه مقدار جواب را می­توان تنها با گذاشتن مقدار مناسب  در دستور مزبور به دست آورد. برای معادله غیر­خطی به ندرت می­توان چنین جواب صریحی پیدا کرد. معمولاّ در بیشتر موارد حداکثر می­توان رابطه­ای به صورت

    (1-4)

    شامل  و  یافت که جواب  در آن صدق کند. حتی همین کار را هم فقط برای انواع خاصی از معادلات دیفرانسیل می­توان انجام داد، که معادلات تفکیک­پذیر مهمترین آن­ها هستند. رابطه بالا را یک انتگرال (یا انتگرال اول) از معادله دیفرانسیل بدست می­آورد و جواب را به صورت تابع ضمنی معین می­کند؛ بدان معنی که به ازای هر مقدار  باید معادله بالا را حل کنیم تا مقدار متناظر  را به دست آوریم. اگر رابطه بالا نسبتاّ ساده باشد، می­توان با روش­های تحلیلی آن را نسبت به  حل کرد و از آنجا فرمول صریحی برای جواب به دست آورد. اما اغلب چنین نیست، باید به محاسبات عددی روی آورد تا به ازای مقدار ی مفروض بتوان مقدار  را به دست آورد. وقتی که زوج­های متعددی از  و  محاسبه شدند، رسم آن­ها و ترسیم خم انتگرالی که از آن نقاط می­گذرد اغلب مفید است. در صورت امکان باید این کار را با استفاده از رایانه انجام داد.[1و3]

     

    Abstract

    Differential equations that appear in physical problems, are often nonlinear that their exact solutions are necessary to achieve the answer. Since the majority of nonlinear differential equations have no analytical solution, methods of numerical solutions for these equations good look such as plasma physic. In order to in this thesis has been investigated numerical solution for some of the nonlinear differential equations with partial derivatives.

    Orientation with nonlinear differential equations and use of them are given in chapter 1 and introduction of soliton are investigated in chapter 2 as a sample answer for the nonlinear differential equations.

    In chapter 3, variety of numerical solution methods for these equations has been investigated including Adomian Decomposition Method, Homotopy Perturbation Method and Variational Iteration Method.

    numerical coding has been done with FORTRAN software in order to achieve exact answer and comparison with numerical solutions for two nonlinear equations (Kortweg-de Vries and non-linear schrodinger).

    At the end, accuracy of the used methods has been measured with analyzing the charts and the results show that Variational Iteration Method has more convergence, also more consistent with the exact solution.

    Keywords: numerical solution, differential equation, nonlinear, soliton

  • فهرست و منابع پایان نامه بررسی عددی معادلات دیفرانسیل غیر خطی، معادله شرودینگر غیر خطی، معادله کورته وگ دی وری

    فهرست:

    فصل اول

    1-1 معادلات دیفرانسیل خطی و غیرخطی.. 3

    1-2 تفاوت­های بین معادلات خطی و غیرخطی ...................................................... 3

    1-3 معادله شرودینگر غیرخطی.. 5

    1-4 معادله کورته وگ دی وری.. 12

    فصل دوم

    2-1 تاریخچه ............................................................................................. 31

    2-2 محیط غیرخطی و پاشندگی در امواج. 39

    2-3 سالیتون­های روشن، تاریک و خاکستری.. 41

    2-4 پایداری سالیتون 46

    2-5 برخورد سالیتون ها 48

    2-6 کاربرد سالیتون ها 50

    فصل سوم

    3-1 مقدمه 70

    3-2 روش­های حل معادلات غیرخطی 70

    3-3 قوانین بقا ............................................................................................ 75

    3-4-1 روش تجزیه ادومیان. 76

    3-4-2 حل معادله شرودینگر غیر­خطی به روش تجزیه ادمیان. 77

    3-4-3 حل معادله کورته وگ دیوری به روش تجزیه ادمیان 80

    3-5-1 روش اختلال هوموتوپی ....................................................................... 81

    3-5-2 حل معادله غیرخطی شرودینگر با استفاده از روش اختلال هوموتوپی ............... 83

    3-5-3 حل معادله کورته وگ دی وری با استفاده از روش اختلال هوموتوپی ............... 84

    3-6-1  روش تکرار تغییرات ........................................................................... 85

    3-6-2 حل معادله شرودینگر غیرخطی به روش تکرار تغییرات.................................. 87

    3-6-3 حل معادله کورته وگ دی وری به روش تکرار تغییرات ................................ 87

    فصل چهارم

    4-1 جمع­بندی و ارائه نتایج ............................................................................ 92

    4-2 پیشنهادات ........................................................................................... 93

    پیوست­ها

    پیوست الف (حل معادله  به روش ADM) .................................................. 95

    پیوست ب (حل معادله  به روش HPM) ................................................. 103

    پیوست ج (حل معادله  به روش VIM) ................................................... 111

    پیوست د (حل معادله  به روش ADM) .................................................. 119

    پیوست ه (حل معادله  به روش HPM) .................................................. 127

    پیوست و (حل معادله  به روش VIM) ................................................... 135

    منابع

     

    منبع:

                                       

    کارگریان آمنه، روحانی محمد رضا و حکیمی پژوه حسین، "بررسی پایداری امواج یون- آکوستیک غیرخطی با استفاده از شبیه سازی ذره های پلاسما"، مجله پژوهش فیزیک ایران، جلد11، شماره 1، بهار 90.

    W. E. Boyce and R. C. DiPrima, 1997, “Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems,Sixth Edition”, John wiley & Sons, 792 p.

    F. C. Franci, 1984, “Introduction to Plasma and Controlled Fusion”, Volume 1: Plasma Physics,Second edition, Springer, 421 p.

    M. J. Ablowitz and P. A. Clarkson, 2003, “Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering”, London Mathematical Society Note Series, 149 p.

    S. Karigiannis, 1988, “The Inverse scattering Transform and Integrability of Nonlinear Evolution equations”, Minor Thesis, 31 p.

    T. Cattaert, I. Kourakis and P. K. Shukla, 2004, “Envelope solitons associated with electromagnetic waves in a magnetized pair plasma”, Physics of Plasma” 12, 012319 (2005), 6 p.

    D. J. Korteweg, G. de Vries, 1895, "On the Change of Form of Long Waves advancing in a Rectangular Canal and on a New Type of Long Stationary Waves", Philosophical Magazine, 5th series 39, 422 p.

    P. G. Drazin and R. S. Johnson, 1989, “Solitons: an introduction”, Cambridge University Press, 2nd ed, 226 p.

    G. B. Whitham, 1976, “Linear and Nonlinear Waves”, John Wiley & Sons, pp. 580-583.

    سوده میرزایی "سالیتون­های دو بعدی در شبکه­های غیرخطی"، پایان نامه کارشناسی ارشد، بهمن 1385، دانشگاه اراک.

    دیوید استیونسون، "تسونامی و زمین لرزه چه فیزیک جالبی دارند؟"،  مجله فیزیک، سال 23، شماره 1و2، بهار و تابستان 1384، ص 23-26.

    M. Remoisson, 1999, “Waves called Solitons; consepts and experiments”, Springer, ISBN 978-3-540-65919-8, 335 p.

    A. Afroozeha,b, L S. Amid, M. Kouhnavard, M. A. Jalila, 1. Alia, and P.P. Yupapinc, 2010, “Optical Dark and Bright Soliton Generation and Amplification”, International Conference on Enabling Science and Nanotechnology (ESciNano), 3 p.

    Li. F. Mollenauer and J. P. Gordon, 2006, ” Solitons in optical fibers”, Elsevier Academic Press, 296 p.

    R. Rajaraman, 1982, “Solitons and instantons”, North-Holland, ISBN 0-444-86229-3, 409 p.

    Yu. S. Kivshar, G. P. Agrawal, 2003, “Optical Solitons: From Fibers to Photonic Crystals”, Elsevier Academic Press, 540 p.

    J. S. Russell, 1844, “Report on Waves”, Report of the 14th Meeting of the British Association for the Advancement of Science, pp. 311-390.

    M. J. Boussinesq, 1871, "Theorie de l'intumescence liquid appellee onde solitaire ou de translation, se propageant dans un canal rectangulaire." Comptes Rendus Acad. Sci., 72 pp. 755-759.

    J. W. S. Lord Rayleigh, 1876, "On Waves," Phil. Mag., 1, pp. 257-279.

    D. J. Korteweg, G. de Vries, 1895, "On the Change of Form of Long Waves advancing in a Rectangular Canal and on a New Type of Long Stationary Waves", Philosophical Magazine, 5th series 39, 422 p.

    S. A. Herod, 2004, “Learning about Differential Equations from Their Symmetries”, The Mathematica Journal, Vol. 9, I. 2, 15 p.

    F. Chand and A. K. Malik, 2012, “Exact Traveling Wave Solutions of Some Nonlinear Equations Using - expansion Method methods”, ISSN 1749-3889 (print), 1749-3897(online) International Jounal of Nonlinear Science Vol. 14, NO. 4,pp. 416-424

    Y. Gurefe, Y. Pandir and E. Misirli, 2012, “New exact Solutions of Stochastic KdV Equation”, Applied Mathematical Sciences, Vol. 6, no. 65, pp. 3225-3234.

    A. H. Salas, 2011, “Exact Solutions for Ito Equation by the sn-ns Method”, Applied Mathematical, Vol. 5, no. 46, pp. 2283-2287.

    لطفی طاهر، محمدی یعقوبی فرج اله، بابلیان اسماعیل، "حل معادلات غیرخطی با استفاده از فن آشوب و بسط لاگرانژ"، مجله ریاضیات کاربردی واحد لاهیجان، سال ششم، شماره 23، زمستان 88، ص ص 17-11.

    D. Bai and L. Zhang, 2009, “The finite element method for the coupled Schrodinger-KdV equations”, Physics Letters A 373, pp. 2237-2244.

    M. A. Mohamed and M. Sh. Torky, 2013, “Numerical solution of nonlinear system of parial differential equations by the Laplace decomposition method and the Pade approximation”, American Journal of computational Mathematics, 3, pp. 175-184.   

    Y. Dereli, D. Irk and I. Dag, 2009, “Soliton solutions for NLS equation using radial basis functions”, Chaos, Solitons and Fractals 42, pp. 1227-1233.

    T. Taha and M. Ablowitz, 1984, “Analytical and Numerical Aspects of Certain Nonlinear Evolution Equations II: Numerical Nonlinear Schr‑odinger Equation”, J. Comput. Phys, Vol. 55, 2, pp. 203-230.

    Y. Dereli, D. Irk, and ˙I. Da˘g, 2009, “Soliton solutions for NLS equation using radial basis functions”, Chaos, Solitons and Fractals 42, pp. 1227–1233.

    J. W. S. Lord Rayleigh, 1876, "On Waves," Phil. Mag., 1, pp. 257-279.

    H. N. A. Ismail, K. R. Raslan,  and G. S E. Salem, 2004, “Solitary wave solutions for the general KdV equation by Adomian decomposition method”, Applied Mathematics and Computation, 154. pp. 17-29.

    D. Kaya and S. M. E. Sayed, 2003, “On the solution of the coupled Schrodinger-KdV equation by the decomposition method”, Physics Letters A 313, pp. 82-88.

    M. S. E. Azab and I. L. E. Kalla, 2012, “Convergence of Adomian method for solving KdV-Burger equation”, International Journal of Engineering Science and Technology, Vol. 4 , No.05, 6 p.

     J. Biazar, E. Babolian and R. Islam, 2004, “Solution of the system ordinary differential equations by Adomian decomposition method’, Applied Mathematics and Computation 147, pp. 713-719.

     B. S. H. Kashkari, 2012, “ Adomian decomposition method for solving a Generalized Korteweg – De Vries equation with boundary conditions, Journal of King Abdul Aziz, 15p.

    A. Bratsos, M. Ehrhardt and I. Th. Famelis, 2008, “A discrete Adomian decomposition method for discrete nonlinear Schrodinger equations”, Applied Mathematics and computation, vol. 197, Issue. 1, pp. 190-205.

    T. A. Abassy, M. A. E. Tawil and H. K. Saleh, 2004, “the solution KdV and mKdV equations using Adomian Pade Approximation”, Freund Publishing House Ltd. International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation 5(4), pp. 327-339.

    D. Baleanu, A. R K. Golmankhaneh and A. K. Golmankhaneh, 2008, “Solving of the Fractional non-linear and linear Schrodinger equations by Homotopy Perturbation method” , Rom. Journ. Phys., Vol. 54, Nos. 9-10, pp. 823-832.

    S. Kucukarslan , 2009, “Homotopy perturbation method for coupled Schrodinger-KdV equation”, Nonlinear Analysis: Real World Applications 10, pp. 2264-2271.

    M.Ghasemi, M. Fardi, M. T. Kajani, and R. K. Ghaziani , 2011, “Numerical solution of fifth order KdV equations by homotopy perturbation method”, Vol. 5, No. 2, pp. 169-181.

    J. Biazar, K. Hosseini and P. Gholamin, 2009, “Homotopy Perturbation Method for Solving KdV and Sawada Kotera equations”, Journal of Applied Mathematics, Vol. 6, No. 21, 6 p.

    J. H. He and  X. H. Wu, 2007, ” Variational iteration method: New development and applications”, An International Journal computers & mathematics with applications, 54, pp.  881-894.

    A. M. Wazwaz, 2007, ” The variational iteration method for rational solutions for KdV, K(2,2), Burgers, and cubic Boussinesq equations”,  Journal of Computational and Applied Mathematics, 207, pp. 18-23.

    M. A. Abdu and  A. A. Soliman, 2005, ” New applications of variational iteration method”,  Physica, D 211, pp. 1-8.

    I. Kucuk, 2010, ”Active Optimal Control of KdV Equations Using the Variational Iteration Method”, Hindawi Publishing Corporation Mathematical in Engineering Volume 2010, Article ID 929103, 10 p.

    A. Doosthoseini and H. Shahmohamadi, 2010, “Variational Iteration Method for Coupled Schrodinger-KdV Equation”, Applied Mathematical Sciences, Vol. 4, no. 17, pp. 823-837.

     M. Taheri and M.Dehghan, 2007, “On the convergence of He’s variational iteration method”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 207, pp. 121-128.

    L. Xu, 2007, ”Variational iteration method for solving integral equations”, An International Journal computers & mathematics with applications, 54. pp. 1071-1078.



تحقیق در مورد پایان نامه بررسی عددی معادلات دیفرانسیل غیر خطی، معادله شرودینگر غیر خطی، معادله کورته وگ دی وری, مقاله در مورد پایان نامه بررسی عددی معادلات دیفرانسیل غیر خطی، معادله شرودینگر غیر خطی، معادله کورته وگ دی وری, پروژه دانشجویی در مورد پایان نامه بررسی عددی معادلات دیفرانسیل غیر خطی، معادله شرودینگر غیر خطی، معادله کورته وگ دی وری, پروپوزال در مورد پایان نامه بررسی عددی معادلات دیفرانسیل غیر خطی، معادله شرودینگر غیر خطی، معادله کورته وگ دی وری, تز دکترا در مورد پایان نامه بررسی عددی معادلات دیفرانسیل غیر خطی، معادله شرودینگر غیر خطی، معادله کورته وگ دی وری, تحقیقات دانشجویی درباره پایان نامه بررسی عددی معادلات دیفرانسیل غیر خطی، معادله شرودینگر غیر خطی، معادله کورته وگ دی وری, مقالات دانشجویی درباره پایان نامه بررسی عددی معادلات دیفرانسیل غیر خطی، معادله شرودینگر غیر خطی، معادله کورته وگ دی وری, پروژه درباره پایان نامه بررسی عددی معادلات دیفرانسیل غیر خطی، معادله شرودینگر غیر خطی، معادله کورته وگ دی وری, گزارش سمینار در مورد پایان نامه بررسی عددی معادلات دیفرانسیل غیر خطی، معادله شرودینگر غیر خطی، معادله کورته وگ دی وری, پروژه دانشجویی در مورد پایان نامه بررسی عددی معادلات دیفرانسیل غیر خطی، معادله شرودینگر غیر خطی، معادله کورته وگ دی وری, تحقیق دانش آموزی در مورد پایان نامه بررسی عددی معادلات دیفرانسیل غیر خطی، معادله شرودینگر غیر خطی، معادله کورته وگ دی وری, مقاله دانش آموزی در مورد پایان نامه بررسی عددی معادلات دیفرانسیل غیر خطی، معادله شرودینگر غیر خطی، معادله کورته وگ دی وری, رساله دکترا در مورد پایان نامه بررسی عددی معادلات دیفرانسیل غیر خطی، معادله شرودینگر غیر خطی، معادله کورته وگ دی وری

ثبت سفارش
تعداد
عنوان محصول
بانک دانلود پایان نامه رسا تسیس